Back online

Gửi đến các bạn ghé thăm blog.

Trong một thời gian qua vì công việc nên mình không thường xuyên update thông tin cũng như trả lời comment câu hỏi của các bạn được. Xin lỗi những bạn đã đặt câu hỏi nhưng không nhận được câu trả lời thỏa đáng cũng như kịp thời gian.

Hy vọng trong thời gian tới mình sẽ có thể trả lời các bạn được đầy đủ và kịp thời hơn.

Chúc các bạn luôn may mắn với môn Đại số tuyến tính 🙂

Privacy

This post is just to check the option!

Phân tích đa thức bậc 4 thành tích của các đa thức với hệ số thực

Có bạn hỏi mình bài toán sau: Phân tích đa thức (x^2 - x+3)^2 + 3 thành tích của các đa thức với hệ số thực.

Đối với các bài toán này thì ta cần nhớ kết quả sau:

Nếu đa thức f(x) có nghiệm \alpha (trong đó \alpha có thể là số thực hoặc phức) thì f(x) = (x-\alpha)h(x) trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn f(x) một bậc.

Nếu đa thức f(x) có nghiệm \alpha\in \mathbb C thì f(x) cũng có nghiệm \overline{\alpha} (số phức liên hợp của \alpha).

Từ hai điều trên suy ra nếu f(x) có nghiệm \alpha thì f(x) có thể phân tích thành (x-\alpha)(x-\overline{\alpha})g(x) = (x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + |\alpha|^2)g(x). Để ý rằng \alpha + \overline{\alpha}|\alpha|^2 là các số thực.

Do đó, cách làm của bài tập trên như sau: Phân tích đa thức thành tích của các nhị thức bậc nhất với hệ số phức. Sau đó tìm những cặp hệ thức bậc nhất mà có nghiệm là các số liên hợp của nhau để nhân vào nhau ta sẽ được các đa thức với hệ số thực.

Áp dụng: Ta có (x^2 - x + 3)^2 + 3 = (x^2 - x + 3 + i\sqrt{3})(x^2 - x + 3 + i\sqrt{3})

Để phân tích thành tích các đa thức bậc nhất. Ta giải các phương trình bậc hai sau

x^2 - x + 3 + i\sqrt{3} = (x-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})

x^2 - x + 3 -i\sqrt{3} = (x+i\sqrt{3})(x-1-i\sqrt{3})

Suy ra

(x^2 - x + 3)^2+3=(x-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})(x+i\sqrt{3})(x-1-i\sqrt{3})

= ((x+i\sqrt{3})(x-i\sqrt{3}))(x-1-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3}))

= (x^2 + 3)(x^2 - 2x + 2)

P.s. Ngoài ra, có thể làm bằng cách khai triển (x^2-x+3)^2 + 3 thành đa thức bậc 4, sau đó sử dụng phương pháp hệ số bất định

(x^2 - x+3)^2 + 3 = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) với a, b, c, d, e, f\in\mathbb R để tìm a, b, \ldots, f.

Tuy nhiên cách này chỉ khả thi khi a, b, \ldots, f là các số hữu tỉ.

Thi Đại số K56, 4/2/2012

Đề thi năm nay cũng không có gì mới hay đặc biệt, hi vọng các bạn sinh viên đều làm bài tốt.

 

Sẽ up đề thi và lời giải.

Đề thi môn Đại số Tín chỉ hè 2011

(Thời gian làm bài: 90 phút)

Câu 1.

a) Giải phương trình phức z^6 - (1+\sqrt{3} +i)z^3 + \sqrt{3} +i = 0.

b) Cho ánh xạ \displaystyle f: \mathbb R\backslash \{-1\} \rightarrow \mathbb R, f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1}. Xác định f([0,1))f^{-1}([0,1)).

Câu 2. Tìm ab để hệ sau có nghiệm

\begin{cases}    x_1+2x_2 + 3x_3 - 4x_4 = 5\\    -2x_1 + (a-5)x_2 - 6x_3 + (9-a)x_4 = b-9\\    3x_1 + (7-a)x_2 + 9x_3 + (2a-15)x_4 = -7    \end{cases}

Câu 3. Trong không gian Euclide \mathbb R^4 với tích vô hướng thông thường, cho các vecto v_1 = (2,1,-1,1), v_2 = (1,-2,0,1), v_3 = (3,-1,-1,2), v = (4,0,3,3). Đặt V = span\{v_1,v_2,v_3\}U = \{u\in \mathbb R^4|u\perp v, \forall v\in V\}.

a) Chứng minh U là một không gian con của \mathbb R^4 và tìm một cơ sở trực chuẩn của U.

b) Tìm hình chiếu của v lên U.

Câu 4. Cho toán tử tuyến tính f: P_2[x] \rightarrow P_2[x] có ma trận

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1&2&-1\\2&5&3\\4&9&1\end{pmatrix}

đối với cơ sở \mathcal B = \{1,1+x,1+x+x^2\}.

a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở \mathcal B' = \{1+x+x^2, 1, 1+x\}.

b) Tìm số chiều và một cơ sở của ker f.

Bài 5. Trong \mathbb R^3, cho dạng toàn phương

\omega(x_1,x_2,x_3) = 3(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2(-x_1x_2 + x_2x_3- x_3x_1)

Tìm cơ sở trực chuẩn của \mathbb R^3 để \omega có dạng chính tắc. Viết dạng chính tắc đó.

Rất đơn giản để có thêm 1 điểm

Đề bài: Cho f, g là hai toán tử tuyến tính trên không gian véc tơ V thỏa mãn fg = gf. Chứng minh rằng f(kerg) \subset ker g.

 

Lời giải: Lấy y\in f(ker g), suy ra tồn tại x\in ker g sao cho y = f(x).

Ta có g(y) = g(f(x)) = f(g(x)) (\text{do } gf = fg)

= f(0) (\text{do } x\in kerg \Rightarrow g(x) = 0)

= 0.

Suy ra y\in ker g. Vậy f(ker g) \subset ker g.

 

Lời bình: Có lẽ đến 80 – 90% các bạn bỏ câu này khi gặp trong đề thi. Lý do có thể hiểu đơn giản:

1. Bài 5, một vị trí thường dành cho các bài “điểm 10”, nên ít ai có ý định nghĩ đến trước khi giải quyết xong đám bài còn lại.

2. Một đề bài khá lạ lẫm, trông chẳng có vẻ gì là đã gặp ở đâu đó, tốt nhất là nên tránh xa.

 

Rõ ràng đây là một bài toán đơn giản, vì lời giải ngắn gọn và hoàn toàn không sử dụng một kỹ thuật nào đặc biệt. Do đó, chỉ cần một chút tinh ý và mạnh dạn, các bạn có thể có 1 điểm trong tay một cách nhanh chóng.

Lời khuyên: Gan dạ một chút sẽ giúp bạn kiếm được những điều không dành cho người nhút nhát.

Lời chúc: Good luck for your exam, all of you, student!

Tìm điều kiện của tham số để một véc tơ thuộc vào ảnh của một ánh xạ tuyến tính

Một bài tập khá điển hình có thể gặp ở trong một số đề thi.

Đề bài: Cho ánh xạ tuyến tính f: P_2[x] \rightarrow P_2[x] thỏa mãn f(2+x) = 1+x+x^2, f(1+x+x^2) = 2-4x+4x^2, f(2x+x^2) = 11+ax. Tìm a, b để véc tơ u = 1+bx - 3x^2 thuộc Im f.

Ta hiểu rằng u \in Im f nghĩa là tồn tại v \in P_2[x] để cho u = f(v). Tuy nhiên, vì f không có công thức biểu diễn cụ thể nên việc viết f(v) trở nên khó khăn.

Theo một cách suy nghĩ khác, Im f là một không gian con của P_2[x] và có hệ sinh là \{f(2+x), f(1+x+x^2), f(2x+x^2)\} = \{1+x+x^2, 2-4x+4x^2, 11+ax\} nên để u\in Im f thì u phải là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ \{1+x+x^2, 2-4x+4x^2, 11+ax\}, hay nói cách khác, tồn tại \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 thỏa mãn

1+bx-3x^2 = \alpha_1(1+x+x^2) + \alpha_2(2-4x+4x^2) + \alpha_3(11+ax)

tương đương với hệ

1 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 11\alpha_3

b = \alpha_1 - 4\alpha_2 + a\alpha_3

-3 = \alpha_1 + 4\alpha_2

Nói cách khác, ta đưa bài bài toán trở về dạng tìm a, b để hệ phương trình trên có nghiệm. Bài toán này có thể giải một cách dễ dàng (coi như bài tập nhỏ).